Berechnung des Leistungspegels für den Spektrum-Analysator am 10 m- Punkt

Diese Berechnung ist für den Fall, daß ein Spektrum- Analysator mit dBm- Skalierung zur Anwendung kommt, wie mein HP8558B.
Die dBm-Skala ist eine logarithmische Maßeinheit zur Angabe einer absoluten elektrischen Leistung, bezogen auf einen Referenzwert von 1 Milliwatt (mW).

Wie in den vorigen Berechnungen wird der 50 Ohm- Eingang des Spektrum- Analysators direkt an die Empfangs- Schleife angeschlossen.

Berechnung des theoretischen Leistungspegels in dBm für den HP 8558B (10 m, Direktkopplung)

Wird der Spektrumanalysator HP 8558B anstelle des PM-5 direkt an die Empfangsschleife angeschlossen, zeigt dieser das Signal im Pegelraum dBm (Dezibel bezogen auf 1 Milliwatt) an seinem 50-Ohm-Systemwiderstand an.

Ausgangspunkt ist der berechnete Spannungspegel an der Empfangsantenne:
U = -12,46 dBµV

Die hochfrequenztechnische Umrechnungskonstante für ein 50-Ohm-System beträgt:
Konstante = 107 dB (Herleitung der Konstante unten)

Gemäß der Umrechnungsformel wird die Konstante vom Spannungspegel abgezogen:
P (dBm) = U (dBµV) - 107
P (dBm) = (-12,46) - 107

Mathematisch bedeutet das Abziehen einer positiven Zahl von einer bereits negativen Zahl, dass sich der Wert weiter in den negativen Bereich hinein verschiebt (beide Beträge werden addiert, und das negative Vorzeichen bleibt erhalten):
12,46 + 107 = 119,46

So ergibt sich das Resultat:
P (dBm) = -119,46 dBm

Unter Berücksichtigung des negativen Vorzeichens und unter Nutzung des zuvor hergeleiteten, unbeschalteten Spannungspegels von -12,46 dBµV am 10-Meter-Punkt erfolgt die Berechnung über die HF-Konstante von genau 107 dB:

P_theorie (dBm) (10m)            = U_maximal (dBµV) (10m) - 107
                                                   = -12,46 dBµV - 107
P_theorie (dBm) (10m)            = -119,46 dBm

Ein Pegel von 0 dBm entspricht einer Leistung von genau 1 Milliwatt (1 mW = 10^(-3) W) an 50 Ohm. Ein Pegel von -119,46 dBm bedeutet umgerechnet eine unvorstellbar winzige Leistung von:
P = 10^(-119,46 / 10) mW
P = 1,13 * 10^(-12) mW
P = 1,13 * 10^(-15) Watt (1,13 Femtowatt)

Diese physikalische Rückrechnung in die lineare Leistungswelt veranschaulicht eindrucksvoll, warum das Signal auf dem Bildschirm des Spektrumanalysators HP 8558B nicht mehr sichtbar sein kann. Eine Hochfrequenzleistung im Femtowatt-Bereich (1,13 fW) liegt weit unterhalb des thermischen Rauschens der Eingangsstufen des Analysators, weshalb der Nachweis zwingend über ein hochselektives Pegelmessgerät, wie PSM-5, geführt werden muss.

Da die Anzeige-Rauschgrenze des HP 8558B selbst bei schmalster Auflösungsbandbreite (RBW = 1 kHz) im Bereich von -110 dBm bis -115 dBm liegt, unterschreitet das Signal diese Grenze um etwa 4,5 bis 9,5 dB.
Auch bei Direktkopplung wird das Signal auf dem Bildschirm des Spektrumanalysators vollständig im thermischen Eigenrauschen des Geräts untergehen.
Der 10m-  Nachweis ist nur mit einem hochselektiven Pegelmesser, wie dem  PSM-5 sinnvoll.

Anhang: Herleitung der HF-Umrechnungskonstante (107 dB) an 50 Ohm

Der international verständlichste Begriff ist Pegeloffset (oder Pegelversatz) bei 50 Ohm.
In wissenschaftlichen Herleitungen wird die Konstante oft als Index-Konstante
C50 Ohm (C engl. Constant) oder oder k50 Ohm (k für Korrekturfaktor) bezeichnet.

Die Umrechnung basiert auf der Systemkonstante C50 Ohm = 107 dB, die die Gleichung dafür lautet:
P(dBm) = U (dBµV) - C50 Ohm

Ein historischer Name aus dem Labor: „Der HP-Offset“
In der Funkpraxis der 1970er und 1980er Jahre wurde diese Zahl von älteren Ingenieuren oft scherzhaft als „HP-Offset“ bezeichnet. Der Grund: Hewlett-Packard lieferte damals zu seinen berühmten Spektrumanalysatoren (wie Ihrem HP 8558B) oft kleine Schieber oder Plastik-Tabellenkarten mit, auf denen fett gedruckt stand: dBm = dBµV - 107

Zwecks Bestimmung des mathematischen Ursprung der Konstante 107 dB bestimmen wir den exakten Spannungswert, der an einem Widerstand von Z = 50 Ohm fließen muss, um eine Hochfrequenzleistung von genau P = 1 Milliwatt (0 dBm) umzusetzen.

Berechnung der effektiven Spannung für 1 Milliwatt (0 dBm)
Nach den Grundlagen der Elektrotechnik ist die Leistung P das Quadrat der effektiven Spannung U dividiert durch den Widerstand Z (P = U^2 / Z). Durch Umstellung nach der Spannung U ergibt sich:

U = sqrt(P * Z)

Setzt man die Werte für die Bezugsleistung von 1 Milliwatt (0,001 Watt) und den Systemwellenwiderstand von 50 Ohm ein, erhält man:
U = sqrt(0,001 W * 50 Ohm)
U = sqrt(0,05) V
U = 0,2236068 Volt

Eine Leistung von 0 dBm (1 mW) entspricht an einem 50-Ohm-Eingang somit einer effektiven Spannung von exakt 0,2236068 Volt.

Umrechnung dieser Spannung in die Mikrovolt-Ebene (µV)
Da die Pegeleinheit dBµV auf 1 Mikrovolt (1 µV = 10^-6 V) bezogen ist, rechnen wir die Volt in Mikrovolt um (Multiplikation mit 1.000.000):
U   = 0,2236068 V * 1.000.000
      = 223606,8 µV

Transformation in den logarithmischen Pegelraum (dBµV)
Nun wird dieser absolute Mikrovoltwert in den Dezibel-Pegelraum überführt:
Pegel (dBµV) = 20 * log10(U / 1 µV)
Pegel (dBµV) = 20 * log10(223606,8 µV / 1 µV)
Pegel (dBµV) = 20 * log10(223606,8)
Pegel (dBµV) = 20 * 5,349485
Pegel (dBµV) = 106,9897 dBµV

In der Hochfrequenztechnik wird dieser Wert der HF- Umrechnungskonstante
Pegel (dBµV) = 107,00 dBµV
aufgerundet.

Da eine Leistung von punktgenau 0 dBm an einem 50-Ohm-Abschluss einen Spannungspegel von exakt 107 dBµV erzeugt, sind beide Nullpunkte im logarithmischen Raum um diesen festen Betrag verschoben.
Daraus ergibt sich die wichtige Rechenoperation, daß man von jedem gemessenen oder berechneten Spannungspegel in dBµV starr den Wert 107 abziehen muss, um die korrespondierende Leistung in dBm an 50 Ohm zu erhalten.

Berechnung des realen Leistungspegels in dBm für den Spektrumanalysator HP 8558B (10 m)

Wird der Spektrumanalysator HP 8558B anstelle des Pegelmessers PM-5 direkt an die Möbius-Empfangsschleife angeschlossen, stellt dieser das Signal als absolute Leistung im Pegelraum dBm (Dezibel bezogen auf 1 Milliwatt) an seinem 50-Ohm-Eingangswiderstand dar.

Ausgangspunkt ist der über den Möbius-Konstruktionsfaktor hergeleitete, reale Spannungspegel an den Klemmen der Empfangsantenne:
U = -15,40 dBµV (entspricht den realen 0,17 µV unter Last)

Die hochfrequenztechnische Umrechnungskonstante für ein 50-Ohm-System beträgt:
Konstante = 107 dB

Gemäß der Umrechnungsformel wird diese Systemkonstante vom realen Spannungspegel abgezogen:
P (dBm) = U (dBµV) - 107
P (dBm) = (-15,40) - 107

Mathematisch bedeutet das Abziehen einer positiven Zahl von einer bereits negativen Zahl, dass sich der Wert weiter in den negativen Bereich hinein verschiebt. Beide Beträge werden addiert, und das negative Vorzeichen bleibt erhalten:
15,40 + 107 = 122,40

Unter Berücksichtigung des negativen Vorzeichens ergibt sich das reale Resultat für die Anzeige:
P (dBm) = -122,40 dBm

Ein Pegel von -122,40 dBm bedeutet umgerechnet eine unvorstellbar winzige Hochfrequenzleistung von nur noch rund 0,58 Femtowatt (0,58 * 10^(-15) Watt) am 50-Ohm-Eingang des Geräts.

Die typische Anzeige-Rauschgrenze (Display Noise Floor) des HP 8558B Spektrumanalysators liegt selbst bei maximaler Videofilterung und schmalster Auflösungsbandbreite (RBW = 1 kHz) im Bereich zwischen -110 dBm und maximal -115 dBm. Das reale Signal von -122,4 dBm unterschreitet diese physikalische Sichtbarkeitsgrenze des Bildschirms somit um deutliche 7 bis 12 dB.

Aufgrund des Möbius-Bauform-Faktors sinkt die real verfügbare Leistung am 10-Meter-Punkt in den tiefen Femtowatt-Bereich. Das Signal wird auf dem Bildschirm des HP 8558B vollständig im thermischen Rauschteppich untergehen. Dies ist physikalisch zwingend begründet und kein Defekt. Es beweist untermauernd, dass für den hieb- und stichfesten Nachweis des gesetzlichen Limits im Garten einzig ein hochselektiver Pegelmesser, wie der PSM-5 in der Lage ist, diese extrem geringe Spannung von 0,17 µV sauber anzuzeigen.